Abecedario matemático: calendario gregoriano

En estos días en que se ha elegido nuevo papa de la iglesia católica, tras la renuncia de Benedicto XVI, se recuerda que el último antecedente de un hecho similar data del siglo XV, cuando Gregorio XII renunció al papado en 1415.

Precisamente Gregorio XIII, el papa que le sigue en numeración con el mismo nombre aunque no cronológicamente, es conocido porque durante su papado se reformó el calendario a finales del siglo XVI, denominándose calendario gregoriano.

El anterior, el calendario juliano, establecido por Julio César en el año 46 a. C., aconsejado por el astrónomo y matemático egipcio Sosígenes, tenía un año de 365 días, y cada cuatro años (año bisiesto) se sumaba 1 día, por lo que la duración media del año juliano era de 365,25 días, es decir, 365 días 6 horas.

En realidad esta medición era bastante exacta para los medios que existían en la época, pues la duración del año trópico o solar (tiempo transcurrido entre dos pasos sucesivos del Sol por el equinoccio medio) es de aproximadamente 365,2422 días, que equivalen a 365 días 5 horas 48 minutos 46 segundos. La diferencia entre las dos mediciones es de sólo 11,232 minutos por año, es decir, 11 minutos 14 segundos. 

En el Concilio de Nicea del año 325 se fijó el momento astral en el que debía celebrarse la fiesta cristiana de la Pascua, y en relación con ésta las demás fiestas religiosas móviles. Se determinó que se conmemorase la Pascua el domingo siguiente al plenilunio posterior al equinoccio de primavera. Aquel año 325 el equinoccio había ocurrido el día 21 de marzo, pero con el paso del tiempo la fecha del evento se había ido adelantando debido al desfase que generaba el calendario juliano.

Uno de los acuerdos del Concilio de Trento, celebrado entre 1545 y 1563, consistía en ajustar el calendario para eliminar el desfase producido y conseguir la regularidad del año litúrgico. Esos más de 11 minutos contados adicionalmente en cada año habían supuesto que ha finales del siglo XVI el error acumulado desde el año 325 era de aproximadamente 10 días.

En el año de 1582, bajo los auspicios del papa Gregorio XIII y tras consultar a eminentes científicos de la época, se reformó el calendario que pasó a llamarse gregoriano. Se decidió suprimir 10 días, los comprendidos entre el 5 y el 15 de octubre. Además se suprimirían 3 días cada 4 siglos. Esto dio lugar a que los años finales de siglo o años seculares sólo son bisiestos si sus dos primeras cifras son múltiplos de 4. Así 1600, 2000 y 2400 son bisiestos, mientras que 1700, 1800 y 1900 no fueron bisiestos, y 2100, 2200 y 2300 no lo serán.

La medición del calendario gregoriano es muy exacta. La duración media del año gregoriano es de 365,2425 días, es decir, 365 días 5 horas 49 minutos 12 segundos. Como sólo difiere del año solar en 26 segundos, para que se acumule un desfase de 1 día tendrían que pasar 3323 años.

Un dato curioso se refiere a Santa Teresa de Jesús, que murió en Alba de Tormes el lunes 4 de octubre de 1582, cuando volvía de fundar un convento de carmelitas descalzas en Burgos, y fue enterrada al día siguiente, es decir, el viernes 15 de octubre de 1582. 

VII Concurso "Fotografía en las matemáticas"

El concurso “Fotografía en las Matemáticas” ha llegado a su séptima edición con una salud excelente. Dos muestras de ello son la alta participación del alumnado y la gran calidad de las fotografías presentadas.

Como todos los años, el concurso se celebró el día 24 de enero de 2013 dentro del conjunto de actividades que se desarrollan en el IES Diego Tortosa con motivo de la festividad de Santo Tomás de Aquino.

Como en ediciones anteriores, cada grupo de alumnos debía presentar tres fotografías originales en papel fotográfico de tamaño 13x18 centímetros, para facilitar su posterior exposición en un pasillo del instituto. De esta forma, los alumnos participantes tienen el gusto de compartir su trabajo con el resto de sus compañeros. La cantidad de fotografías expuestas va aumentando a razón de unos doce cuadros por cada edición del concurso, de forma que son más de doscientas las fotografías que se pueden contemplar, todas ellas acompañadas de los títulos y comentarios en relación con las matemáticas realizados por los alumnos que las presentaron.

Una anécdota sobre esta muestra fotográfica surgió en la visita realizada al instituto por el ilustre pintor Pedro Cano, con motivo de una charla organizada por el departamento de Artes Plásticas. El artista nos felicitó con mucho afecto, quedando sorprendido por la calidad de las imágenes expuestas y de los comentarios matemáticos. Luego, en una animada conversación con varios profesores, nos comentó la gran cantidad de relaciones que existen entre las matemáticas y las expresiones artísticas de todo tipo, llegando incluso a afirmar que las matemáticas son básicas en la formación de un artista plástico por lo que, en su opinión, deberían estar presentes en el bachillerato de artes que se imparte en el instituto.    

Como en la edición anterior, la temática elegida ha sido diversa en cada una de las tres fotografías. Una de las imágenes debía tratar sobre la naturaleza en Cieza y sus alrededores. Los estudiantes, provistos de una cámara digital, se han paseado por los parques, huertas y campos ciezanos para ofrecernos una colección de imágenes en las que se atisba alguna relación con las matemáticas. En la Naturaleza es muy complicado encontrar rectas, planos y cuerpos regulares, sin embargo nos ofrece un amplio muestrario de toda clase de curvas: círculos, espirales, elipses, parábolas, hipérbolas …

  

La segunda fotografía debía tener relación con el arte en Cieza. Los estudiantes debían mirar con “ojo matemático” las obras artísticas ciezanas, y descubrir en ellas curvas, polígonos, círculos, poliedros, esferas, mosaicos, etc.

Para dejar correr la imaginación de los alumnos, la última de las fotografías era de temática libre, pero con la condición de que se realizara también en Cieza.

Como en las ediciones anteriores, cada imagen debía ir acompañada de un título, su localización y un breve comentario haciendo referencia a los conceptos matemáticos que apareciesen en ella. Con esto se pretenden dos objetivos, por un lado facilitar la labor de los profesores de matemáticas que componen el jurado del concurso, que pueden valorar de una forma más precisa las fotografías presentadas y, por otro, motivar a los alumnos a expresar por escrito lo que observan en ellas en relación con las matemáticas.

La calidad de las fotos presentadas nos ha vuelto a sorprender, tanto en el campo fotográfico como en el matemático. Por un lado, la componente artística está presente en muchas de ellas, y, por otro, los conceptos matemáticos tratados han sido muy variados, aportando unos títulos y comentarios muy originales. Por todo esto, la labor de adjudicar los premios en los tres niveles de participación (Primero y Segundo de ESO, Tercero y Cuarto de ESO, y Bachillerato), ha resultado bastante complicada para los profesores y profesoras del departamento de matemáticas que hemos formado el jurado del concurso.

Abecedario matemático: Fibonacci

Leonardo de Pisa (1170-1250), más conocido por el nombre de Fibonacci (hijo de Bonaccio) está considerado como el mejor matemático del siglo XIII. En su libro "Liber abaci" (El libro del ábaco), aparece el siguiente problema relacionado con el crecimiento de una población de conejos:

En una granja hay, al principio del año, una pareja de conejos, macho y hembra, que acaban de nacer. Al cabo de dos meses esta pareja está preparada para reproducirse, engendrando siempre un único par macho y hembra y, a partir de ese momento, cada uno de los meses siguientes un par más, de iguales características. Admitiendo que no muriese ninguno, el número de parejas de conejos en la granja el día quince de cada mes del año sigue la siguiente sucesión, que se hecho famosa con el nombre de sucesión de Fibonacci:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, …

Entre las propiedades que cumple esta sucesión se encuentra la de que cada término es la suma de los dos anteriores:

1 + 1 = 2

1 + 2 = 3

2 + 3 = 5

3 + 5 = 8

5 + 8 = 13

…

Llamando F_n al término general, se verifica que:

F_n+2 = F_n + F_n+1, con n número natural y F₁ = F₂ = 1.

Esta sucesión resulta tan atractiva porque se presenta en los lugares más insospechados de la naturaleza. Por ejemplo, las flores más comunes tienen 3, 5, 13 o 21 pétalos. En otros casos, parejas de números de Fibonacci consecutivos determinan el patrón de las semillas de un girasol o los piñones de un pino.

Abecedario matemático: Ramanujan

R

amanujan, Srinivasa (1887-1920). Mañana, 22 de diciembre de 2012, se cumplirá el centésimo vigésimo quinto aniversario del nacimiento de este destacado matemático hindú, dotado de una gran facilidad para el cálculo numérico.

Ramanujan nació en el seno de una familia humilde cerca de Madrás (India), en cuya universidad estuvo becado gracias a su portentosa capacidad matemática. Sus teoremas y fórmulas de aquella época le permitieron seguir sus estudios en la universidad de Cambridge (Inglaterra).

A pesar de morir joven (a los 33 años), Ramanujan demostró un gran talento para la intuición algebraica y la Teoría de Números. Como prueba de su intuición con los números se suele mencionar la siguiente historieta.

Hardy, matemático relevante de aquella época, cuenta una anécdota que le ocurrió con Ramanujan un día que fue a visitarle, estando ya éste enfermo. Hardy comentó a Ramanujan que había ido a verle en un taxi de matrícula vulgar, 1729, a lo que éste contestó:

Al contrario. Es un número muy interesante. Es el menor número entero que se puede expresar de dos maneras diferentes como suma de dos cubos: 1729 = 1³ + 12³ = 9³ + 10³.

   

Ajedrez en el Diego Tortosa (II)

Los primeros éxitos, tras la implantación del ajedrez como asignatura optativa en el IES Diego Tortosa, se lograron en los Juegos Escolares del curso 1988/89.

Por un lado, el equipo cadete masculino se proclamó de forma brillante campeón regional de los Juegos, tras vencer sucesivamente a los conjuntos de Abarán (campeón del año anterior), Calasparra, Ceutí, San Javier y Beniaján.

Esta victoria se repitió en la competición individual celebrada en Abarán, en la que José Piñera Lucas se proclamó campeón regional, José Antonio Piñera Juliá logró el subcampeonato, y Antonio I. Martínez-Real Cáceres el quinto puesto. Estos alumnos, junto con dos ajedrecistas de Cartagena y Águilas, representaron a la Región de Murcia en el campeonato nacional por equipos que se celebró en Madrid en junio de 1989.

Equipo del instituto que se proclamó campeón regional en los Juegos Escolares del curso 1988/89. Delante, y de izquierda a derecha, José Antonio Piñera Juliá y José Piñera Lucas. Detrás, Antonio I. Martínez-Real Cáceres, Fernando Galindo Rueda y José Ángel Ortega (delegado-preparador).

Componentes de los equipos masculino y femenino de ajedrez que participaron, representando a la Región de Murcia, en la fase nacional de los Juegos Escolares celebrada en Madrid en junio de 1989.

Los ajedrecistas murcianos que participaron en la fase nacional de los Juegos Escolares, durante una visita al monasterio del Escorial.

Ajedrez en el Diego Tortosa

Durante muchos años en el IES Diego Tortosa, en el que desarrollo mi labor docente, el ajedrez fue una de las asignaturas optativas que se ofertaban.

El ajedrez se implantó en 2º y 3º de BUP en el curso 1988/89, tras la autorización por parte del MEC de un currículo propio. Con la llegada de la ESO, esta materia continuó impartiéndose como optativa hasta el curso 1998/99.

Durante este tiempo comprobamos el valor formativo que tiene el denominado juego-rey, que contribuye al desarrollo psicológico de los alumnos, y que además, por su carácter lúdico, aumentaba su motivación en las clases.  

Sirvan las siguientes imágenes para recordar con nostalgia aquellos años, y a todos los alumnos y alumnas que disfrutaron jugando al ajedrez.

Problema de Ajedrez Nº 5: Morphy

Juegan blancas y dan mate en tres.

La posición del diagrama pertenece a una famosa partida disputada en 1858 en el Teatro de la Ópera de París, en el entreacto de una representación. Las blancas fueron conducidas por el norteamericano Paul Morphy, y las negras por una pareja de contrincantes: el Duque de Brunswick y el Conde Isouard.

Morphy, considerado como uno de los más grandes ajedrecistas de todos los tiempos, disputó la partida “a la ciega”, modalidad en la que el jugador dicta sus movimientos sin ver el tablero.

Solución al problema nº 4:

1......., Dc1+; 2. Dxc1 (en otro caso se pierde la dama blanca), y tablas porque el bando negro no tiene jugada legal, el rey negro está ahogado.

Abecedario matemático: banda de Möbius

B

anda de Möbius. Superficie que se puede formar con una cinta o tira de papel larga y rectangular al rotar uno de los extremos 180° con respecto al otro y juntarlos formando un lazo. La banda de Möbius es una superficie bidimensional con una sola cara. Si dejamos sobre ella una hormiga, recorrerá toda la superficie en un movimiento sin principio ni fin.

 

La banda de Möbius recibe su nombre del matemático alemán August Ferdinand Möbius (1790-1868), que fue un pionero, a principios del siglo XIX, en el campo de la topología. El álgebra y la topología constituyen los dos pilares de la matemática moderna, aportando el lenguaje y los conceptos con los cuáles los matemáticos construyen sin cesar esta ciencia.

Abecedario matemático: álgebra

Á

lgebra. Es el idioma de las matemáticas. Lenguaje simbólico que utiliza letras para representar relaciones numéricas. Su creación se atribuye a los árabes, pueblo sensible y culto de marcadas facultades matemáticas que con su intuición y sentido de la magia elevaron el cálculo a la categoría de arte.

El mejor matemático árabe del siglo IX, Al-Khwarizmi, escribió, hacia el año 825, una obra titulada "Al-jabr w'al muqabalah" (Ciencia de la restauración y oposición), que constituye el primer tratado de álgebra. El término árabe al-jabr (reunir, juntar, o restaurar) se convirtió en castellano en la palabra álgebra.

Sello ruso emitido en honor a Al-Khwarizmi

Por cierto, en la puerta de cualquier barbero castellano del siglo XVI, se podía leer un cartel que anunciara "algebrista y sangrador". No se trataba de alguien que resolvía ecuaciones, sino de los barberos antiguos que, además de afeitar, solían dedicarse a hacer sangrías y a restaurar (al-jabr) huesos rotos.

En un pasaje de El Quijote (Segunda parte, capítulo XV), se puede leer: "En esto fueron razonando los dos, hasta que llegaron a un pueblo donde fue ventura hallar un algebrista, con quien se curó el Sansón desgraciado". Cervantes se refiere al bachiller Sansón Carrasco que, lesionado en un lance anterior, buscaba un algebrista que le recompusiera los huesos.

Problema de Ajedrez nº 4

Tablas

Las negras juegan y hacen tablas.

En la posición del diagrama, el jugador que conduce las piezas negras se contentaría con un empate dada su inferioridad. Pero, ¿cómo lograrlo?

Solución al problema nº 3:

Después de 1.De6+, Rh8; 2.Cf7+, Rg8; 3.Ch6+, Rh8; el blanco puede forzar las tablas por repetición de jugadas, pero ahora viene la sorpresa 4.Dg8+, Txg8; 5.Cf7 mate.

Resulta fascinante pensar que este problema tan bello fue publicado en castellano antiguo en 1497, hace más de quinientos años.

Problema de Ajedrez Nº 3

Mate de la coz
   

El blanco juega y da mate en cinco jugadas.

En esta posición, consignada en el libro “Arte de ajedrez con CL juegos de partido” (Salamanca, 1497), considerado como el primer tratado de ajedrez moderno y del que es autor Luis Ramírez de Lucena, se aplica un mate muy espectacular y lleno de belleza conocido como “mate ahogado” o “mate de la coz”, así llamado porque es el caballo el que remata la acción revelando la fuerza que posee esta pieza.

Solución al problema Nº 2:

1.Dh8+, Rxh8; 2.Tf8 mate.

Problema de Ajedrez Nº 2

Atracción fatal

Juegan blancas y dan mate en dos.

Solución al problema Nº 1:

1.Txh7+, Rxh7; (Si 1... Rg8, 2. Th7xg7, Rf8; 3. Tc7-f7++) 2.Dh5+, Rg8; 3.Df7+, Rh8; 4.Dxg7++.

La solución está escrita en el sistema algebraico de anotación de las jugadas. Este sistema, recomendado por la Federación Internacional de Ajedrez (FIDE), se basa en numerar las filas del 1 al 8, y las columnas con letras de la “a” a la “h” (ver diagrama). Cada jugada se anota representando por su inicial la pieza que se mueve, excepto la del peón que se omite, seguida de la casilla a la que se traslada. Existen algunos símbolos especiales: “x” significa captura; “+” jaque; “++” jaque mate; “0-0” enroque corto; “0-0-0” enroque largo; y “a.p.” captura al paso. 

Problema de Ajedrez Nº 1

Destrucción de la defensa

 Juegan las blancas y dan mate en cuatro.

 

Iniciamos esta sección de problemas de ajedrez con una posición que procede de la partida Taubenhaus-Janowski (1903). El golpe táctico que le dio la victoria a las blancas está basado en la “destrucción de la defensa” que, como su nombre indica, consiste en la eliminación de la pieza o piezas clave en la defensa, dejando vía libre para la ejecución de la secuencia combinativa. La solución en el próximo número.

I Concurso Fotografía en las Matemáticas (2007)

 “Las matemáticas son la ciencia del ojo”

Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

Insigne matemático alemán

 

“¡Cómo es posible que la matemática, un producto del pensamiento humano, se adapte tan admirablemente a los objetos de la realidad!”. Esta exclamación de asombro pertenece a Albert Einstein (1879-1955), probablemente el científico más reconocido del siglo XX.

La capacidad del ser humano de mirar más allá e intentar descubrir formas en la naturaleza o en las cosas que ve, ha sido muy provechosa para la ciencia y la matemática. Círculos, triángulos, cuadrados y espirales, y su familia de tres dimensiones, han sido formas presentes no sólo en la teoría matemática, sino también en la naturaleza y en las obras del hombre. 

De todas estas ideas surgió la iniciativa, entre los profesores del Departamento de Matemáticas del IES Diego Tortosa, de convocar un concurso fotográfico con tema matemático, y pensamos que la mejor ocasión para llevarlo a cabo era incluirlo en el conjunto de actividades que tradicionalmente se organizan en el Instituto con motivo de la festividad de Santo Tomás de Aquino.

Las bases del I Concurso “Fotografía en las Matemáticas”, celebrado en enero de 2007, especificaban que los alumnos debían presentar tres fotografías originales, en papel fotográfico y de tamaño 10x15, en las que aparecieran motivos matemáticos: figuras geométricas, curvas, arcos, ángulos, superficies, volúmenes, etc. Además, cada fotografía debía ir acompañada de un título y un breve comentario haciendo referencia a los conceptos matemáticos que aparecen en ella.

Entre los objetivos que se persiguen con esta actividad cabe destacar que los alumnos desarrollen su creatividad e imaginación para observar y apreciar los múltiples aspectos de su entorno que están en íntima relación con las matemáticas.

La propuesta resultó muy motivadora, lográndose una alta participación por parte del alumnado. Además, la calidad de las fotos presentadas nos ha sorprendido gratamente, tanto en el campo fotográfico como en el matemático. Por un lado, la componente artística está presente en muchas de ellas, y, por otro, los conceptos matemáticos tratados han sido muy variados, aportando unos títulos y comentarios muy originales.

Haz clic aquí para ver las fotografías del Concurso

El juego-rey y la ciencia de los números

Artículo publicado en la revista SUMA (nº 44 - noviembre 2003)

El ajedrez puede constituir un excelente recurso didáctico en el aula de matemáticas. El presente trabajo trata sobre algunas de las conexiones que se pueden establecer entre estas dos disciplinas, y sobre la posibilidad de plantear problemas matemáticos tomando como soporte el tablero y las piezas de ajedrez. Los contenidos de los problemas son muy variados, manejando diversas cuestiones -algebraicas, combinatorias, geométricas, cálculo de probabilidades, de lógica, etc.-, que resultan especialmente motivadoras por el carácter lúdico y manipulativo que posee el juego de los 64 escaques.

  

  Haz clic aquí para seguir leyendo

Los dineros en El Quijote

Artículo publicado en la revista SUMA (nº 52 - junio 2006)

Año 2005, ya saben, Año Quijote. Son muchas las facetas de esta novela universal que pueden ser objeto de estudio y, por supuesto, las matemáticas también afloran en la obra. Se propone a continuación un recorrido por las monedas que aparecen en el Quijote. Para conocer el sistema monetario de los siglos XVI y XVII, mucho más complejo que el actual, con monedas de oro, plata y vellón, se entresacan fragmentos del Quijote, y también algunas reseñas sobre la apasionante biografía de su autor Miguel de Cervantes.

 

Haz clic aquí para seguir leyendo